2の12乗根

2の12乗根（2の12じょうこん）${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2}}}$ は、代数的無理数である。音楽理論において非常に重要であり、十二平均律における半音の周波数比を表す。歴史的にこの数はシモン・ステヴィンによって1580年（草稿、1610年に書き直し）に調律との関連で初めて提唱された。

数値

有効数字20桁の2の12乗根は1.0594630943592952646である。正則連分数展開によるディオファントス近似は1, 17⁄16, 18⁄17, 89⁄84, 196⁄185, 1461⁄1379, 1657⁄1564, 3118⁄2943, 7893⁄7450, 18904⁄17843 ... である。

平均律の半音階

音程は周波数の比であるため、平均律の半音階はオクターブ（2:1の周波数比）を12等分する。

この値を中央ハ（C）の上のイ（A）音（440 Hzの周波数を持ち、A₄と呼ばれる）から始まる半音階の音に連続的に適用することで、以下の音高列が得られる。

最後のA（A₅: 880 Hz）は低い方のA（A₄: 440 Hz）の厳密に2倍の周波数を持つ。つまり1オクターブ高い。

歴史

1636年にフランスの数学者マラン・メルセンヌによって計算された。

出典

推薦文献

• Barbour, J. M. (1933). “A Sixteenth Century Approximation for π”. American Mathematical Monthly 40 (2): 69–73. doi:10.2307/2300937. JSTOR 2300937. 
• Ellis, Alexander; Helmholtz, Hermann (1954). On the Sensations of Tone. Dover Publications. ISBN 0-486-60753-4 
• Partch, Harry (1974). Genesis of a Music. Da Capo Press. ISBN 0-306-80106-X 

関連項目

• 純正律
• 音楽と数学
• 科学的ピッチ表記法
• 平均律クラヴィーア曲集
• 調律
• 冪根